Rappel de base

Définition - Fonction

Repère cartésien orthonormé :
- Droites (Ox) et (Oy) sont perpendiculaires
- OI = OJ = 1

Coordonnées du point M (xM, yM) :
xM est l'abscisse de M
yM est l'ordonnée de M

Pour chaque valeur de x, abscisse d'un point M de la courbe, on peut faire correspondre la valeur y, ordonné de ce point

Exemple : Coordonnées du point A (1, 1) et du point B (3, 2.5)

Ainsi y est fonction de x : y = f(x).

x est une variable et a pour image y par la fonction f.

La représentation de cette fonction correspond à l'ensemble des points qui ont pour coordonnées (x ; y = f(x)).

f(x) = ax + b est une fonction affine

Si b = 0, f(x) = ax est une fonction linéaire

Si a = 0; f(x) = b est une fonction constante

a est un nombre réel appelé coefficient directeur ou coefficient de proportionnalité

b est l'ordonnée à l'origine

Fonction linéaire

Dans un repère du plan, y = f(x) = ax est l'équation d'une droite passant par l'origine du repère (0,0); c'est une fonction linéaire.

Dans cet exemple, la fonction linéaire est de la forme f(x) = ax donc f(3) = 3a = 2 d'où a = 2⁄3 et f(x) = 2⁄3 x ou y = 2⁄3 x.

On peut déterminer un autre point de cette droite en calculant les coordonnées d'un de ses points : si x = 2, alors y = 2⁄3 x 2 = 4⁄3.

Fonction affine

Dans un repère du plan, y = f(x) = ax + b est l'équation d'une droite; c'est une fonction affine.

Dans cet exemple, la fonction linéaire est de la forme f(x) = ax + b donc f(0) = 0a + b = 1 d'où b = 1 et f(3) = 3a + b = 3a + 1 = 2 d'où a = 1⁄3. Ainsi f(x) = 1⁄3 x + 1 ou y = 1⁄3 x + 1.

On peut déterminer un autre point de cette droite en calculant les coordonnées d'un de ses points : si x = 1, alors y = 1⁄3 x 1 + 1 = 4⁄3.

Pour calculer le coefficient d'une fonction affine f à partir de deux points, il suffit d'appliquer la formule suivante : a = yA - yB⁄xA - xB

Par exemple : A (0;1) et B (3;2) alors a = 1 - 2⁄0 - 3 = 1⁄3

Droite parallèle à l'axe des abscisses

y = a est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des abscisses

Exemple : y = 2

Droite parallèle à l'axe des ordonnées

x = a est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées

Exemple : x = 2

Droites parallèles

y = ax + b et y = a'x + b sont deux équations de droites; si a = a' les droites sont parallèles.

Exemple : a = a' = 1⁄3

Droites perpendiculaires

y = ax + b et y = a'x + b sont deux équations de droites; si a x a' = -1 les droites sont perpendiculaires.

Exemple : a x a' = -1⁄3 x 3 = -1

Résolution graphique des équations du premier degré à deux inconnus

Un système de deux équations à deux inconnues se présente sous la forme : ax + by = c et a'x + b'y = c' où a, b, c, a', b', c' sont connus.

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver les couples (x;y) qui sont solutions des deux équations.

Exemple : x + y = 2 et 0.5x - y = - 0.5
Sous la forme d'une équation de droite : y = -x +2 et y = 0.5x + 0.5
Une fois les droites tracées, les coordonnées du point d'intersection des deux droites est la solution du système, soit (1;1).
On peut vérifier la solution en remplaçant le couple (x;y) par (1;1) dans les deux équations : x + y = 1 + 1 = 2 et 0.5 - 1 = - 0.5

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